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6.3 离散随机变量的期望值 - Expected Value of Discrete Random Variables

知识点总结与练习题 / Knowledge Summary and Exercises

核心概念 / Core Concepts

1. 期望值的定义 / Definition of Expected Value

数学定义 / Mathematical Definition：\(E(X) = \sum x P(X = x)\)

意义 / Meaning：表示随机变量的长期平均值，是理论量。

符号 / Notation：有时称为均值，用希腊字母μ表示。

2. 函数期望值 / Expected Value of Functions

一般形式 / General Form：\(E(g(X)) = \sum g(x) P(X = x)\)

特殊情况 / Special Case：\(E(X^2) = \sum x^2 P(X = x)\)

重要性质 / Key Property：任何随机变量的函数也是随机变量。

关键公式 / Key Formulas

期望值计算公式 / Expected Value Formulas

公式名称 数学表达式 说明
期望值定义 \(E(X) = \sum x P(X = x)\) 随机变量的期望值
函数期望值 \(E(g(X)) = \sum g(x) P(X = x)\) 函数的期望值
X²期望值 \(E(X^2) = \sum x^2 P(X = x)\) 用于计算方差

例题解析 / Example Problems

Example 1: 公平骰子期望值

问题 / Problem：掷一枚公平的六面骰子，X表示上表面出现的数字。求E(X)。

解答 / Solution

概率分布：P(X = x) = 1/6, x = 1, 2, 3, 4, 5, 6

E(X) = 1×(1/6) + 2×(1/6) + 3×(1/6) + 4×(1/6) + 5×(1/6) + 6×(1/6) = 21/6 = 3.5

Example 2: 求未知参数

问题 / Problem：已知E(X) = 3，求概率分布中的未知参数p和q。

解答 / Solution

概率总和：p + q = 0.4

期望值方程：2p + 4q = 1

解得：p = 0.3, q = 0.1

Question 1: 基本期望值计算

随机变量X具有以下概率分布，求E(X)和Var(X)：

x -1 0 1 2 3
P(X = x) 1/5 1/5 1/5 1/5 1/5

答题区域：

Question 2: 函数期望值

随机变量X具有以下概率分布，求E(X)和E(X²)：

x 1 2 3
P(X = x) 1/3 1/2 1/6

答题区域：

答案与解析 / Answers and Solutions

Question 1 解析 / Solution to Question 1

E(X) = (-1)(1/5) + 0(1/5) + 1(1/5) + 2(1/5) + 3(1/5) = 1

E(X²) = 1(1/5) + 0(1/5) + 1(1/5) + 4(1/5) + 9(1/5) = 3

Var(X) = E(X²) - [E(X)]² = 3 - 1 = 2

答案：E(X) = 1, Var(X) = 2
Question 2 解析 / Solution to Question 2

E(X) = 1×(1/3) + 2×(1/2) + 3×(1/6) = 1/3 + 1 + 0.5 = 1.833...

E(X²) = 1×(1/3) + 4×(1/2) + 9×(1/6) = 1/3 + 2 + 1.5 = 3.833...

答案：E(X) ≈ 1.833, E(X²) ≈ 3.833